RIMS 研究集会

表現論と調和解析における諸問題

研究代表者：織田　寛（拓殖大学工学部）

集会案内

京都大学数理解析研究所の共同研究事業の一つとして 下記の研究集会を開催致します．

プログラム

[PDFファイル版]

6月28日(火)

14:00-14:50

西尾昭宏（福井大・工）
Non-splitかつNon-Euclid実例外Jordan代数$J^1$の自己同型群$F_{4(-20)}$による軌道分解および軌道型の決定とその応用 ［abstract］

15:00-15:50

廣惠一希（東京大・数理）
線形常微分方程式とルート系 ［abstract］

16:00-16:50

松本詔（名古屋大・多元数理）
Jucys-Murphy元を変数とする対称関数 ［abstract］

6月29日(水)

10:00-10:50

中島秀斗（九州大・数理）
単位元を持たないクランの右乗法作用素 ［abstract］

11:00-11:50

山崎貴史（九州大・数理）
等質開凸錐の行列による実現 ［abstract］

13:30-14:20

伊師英之（名古屋大・多元数理）
有界等質領域の Wallach 集合 ［abstract］

14:30-15:20

山路哲史（名古屋大・多元数理）
極小有界等質領域上の荷重Bergman空間における合成作用素 ［abstract］

15:40-16:30

甲斐千舟（金沢大・理工）
正則凸錐の順序同型写像の線型性 ［abstract］

6月30日(木)

10:00-10:50

木村嘉之（京都大・数理研）
Quantum unipotent subgroup and dual canonical base ［abstract］

11:10-12:00

Crystal Hoyt（Bar-Ilan大）
Good gradings of basic Lie superalgebras ［abstract］

13:30-14:20

松木敏彦（龍谷大・文）
直交型三重旗多様体の軌道分解の一例 ［abstract］

14:30-15:20

太田琢也（東京電機大・工）
Kronecker quiver の定める群作用の半安定軌道の分類 ［abstract］

15:40-16:30

刈山和俊（尾道大・経済情報）
不分岐$p$-進ユニタリー群のspecial表現に関する形式的次数 ― semisimple stratumの場合 ［abstract］

7月1日(金)

9:00-9:50

榎本直也（京都大・理）
曲面の写像類群に付随するJohnson余核の$Sp$-加群構造について　（佐藤隆夫氏（東京理科大）との共同研究） ［abstract］

10:00-10:50

Jianxun He（広州大）
Radon transform on nilpotent Lie group ［abstract］

11:10-12:00

示野信一（関西学院大・理工）
Boundary value problems for various boundaries of a Riemannian symmetric space of the noncompact type ［abstract］

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アブストラクト

[PDFファイル版]

西尾昭宏（福井大・工）

複素例外Jordan代数$J^C$には，Euclid実型$J$，split実型$J'$，non-splitかつnon-Euclid実型$J^1$がある．その自己同型群はそれぞれ$F_4$型コンパクト連結Lie群$G$, $F_{4(4)}$型非コンパクト連結Lie群$G'$, $F_{4(-20)}$型非コンパクト連結Lie群$G^1$になることが知られている(I.Yokota-O.Shukuzawa)．その自己同型群による軌道分解は，Euclid実型(H.Freudenthal), split実型(A.Nishio-O.Yasukura)については，知られている．

本講演では，non-splitかつnon-Euclid実型$J^1$について，その自己同型群$G^1$による軌道分解(arXiv:1011.0789v1 [math.DG] 3 Nov 2010)，および，軌道型の決定について報告する．

廣惠一希（東京大・数理）

直既約な箙の表現とルートとの対応を示すKacの定理は箙の表現論では基本的な定理だが，Fuchs型の線形常微分方程式においてこのKacの定理の不思議なアナロジーが知られている．すなわち微分方程式に対してあるルート系とルート格子の元があり，方程式の既約性とルート格子の元がルートであるという条件が対応する．さらに微分方程式のある種のモジュライ空間の次元がルートの長さによって決定されるというのである．

本講演ではこの対応をFuchs型でない場合にも拡張することを目標として今までに得られている結果を報告する．

松本詔（名古屋大・多元数理）

対称群のJucys-Murphy elementsは互換の和で定義される群環の元であり，近年その重要性が増している．それらは互いに可換であり，よって対称関数の変数にそれらを代入したものは，対称群の群環の一つの元を定める．さらにそれは中心元（類関数）になることが知られている．

本講演では，そのようにしてできる中心元の，各共役類における値について考察する．それ自身組合せ論的に興味深い問題であるが，ユニタリ群上の行列積分とも直接的に関連している．講演者とJ.Novak との共同研究 (arXiv:0905.1992)を中心に，他の研究者による前後の関連研究についても紹介する．

中島秀斗（九州大・数理）

等質凸領域とクランと呼ばれる非結合的な代数が$1$対$1$に対応している． 等質凸領域が錐である場合，対応するクランの右乗法作用素の行列式の既約因子は基本相対不変多項式がすべて現れる．

本講演では等質凸領域が錐でないときにおけるクランの右乗法作用素の行列式について述べたい．

山崎貴史（九州大・数理）

等質開凸錐には$T$-algebra，$N$-algebraといった代数構造が1対1に対応している．この対応は等質開凸錐の分類に役立ち，実際に$10$次元以下のものは対応する$N$-algebraから生成される図形によってすべて分類された．

本講演ではこの分類の手法を発展させ，等質開凸錐を実行列の集合として実現する手法について述べる．また，この実現の手法についての議論から，等質開凸錐に付随する基本相対不変式についての議論へ発展することについて触れる．

伊師英之（名古屋大・多元数理）

正則離散系列表現の解析接続のパラメータ集合である Wallach 集合は, 本来有界対称領域に対して定義されるものであるが, 本講演では有界等質領域に定義を拡張し, 対応するユニタリ表現を考察する.とくに有界等質領域のイソトロピー群に関する近年の結果が効果的に応用されることを論じたい.

山路哲史（名古屋大・多元数理）

極小有界等質領域上の荷重Bergman空間における合成作用素の性質をBergman核を用いて考察する．合成作用素の有界性（コンパクト性）は測度のCarleson性（vanishing Carleson性）を用いて表すことができ，これらの性質を議論する際にBergman核の評価式が役立つ．また，Schurの定理，及び等質Siegel領域における積分公式を利用し，有界な合成作用素がコンパクトになるための必要十分条件をBergman核の境界挙動を用いて表す．

甲斐千舟（金沢大・理工）

有限次元の実ベクトル空間内に正則な開凸錐が与えられたとき, 錐から誘導される半順序が土台のベクトル空間に入る. 本講演では, その錐の順序同型写像が線型であることを証明する. この結果は, A.D.Alexandrov や O.S.Rothaus, 金行壮二氏の結果の(一部分の)拡張を与える.

木村嘉之（京都大・数理研）

Geiss-Leclerc-Schroerによるpreprojective algebraの表現論の研究によって，複素半単純代数群(や一般にKac-Moody群)の冪単部分群の座標環には，クラスター代数の構造が定まり，またそのクラスター代数構造は，Lusztigによる双対半標準基底との整合性が知られている．

Geiss-Leclerc-Schroerらの結果の量子化というべき予想とそれに関連する双対標準基底に関する結果について述べたい．

Crystal Hoyt（Bar-Ilan大）

A finite-dimensional simple Lie superalgebra $\mathfrak g = \mathfrak g_{\bar0} \oplus \mathfrak g_{\bar 1}$ is called basic if $\mathfrak g_{\bar0}$ is a reductive Lie algebra and there exists a nondegenerate even invariant bilinear form on $\mathfrak g$. These are the Lie superalgebras: $\mathfrak{sl}(m|n) : m \ne n$, $\mathfrak{psl}(n|n)$, $\mathfrak{osp}(m|2n)$, $F(4)$, $G(3)$ and $D(2, 1, \alpha)$. A $\mathbb Z$-grading $\mathfrak g = \bigoplus_{j\in \mathbb Z}\mathfrak g(j)$ is called good if there exists an element $e \in \mathfrak g_{\bar 0}(2)$ such that the map $\operatorname{ad} e : \mathfrak g(j) \to \mathfrak g(j + 2)$ is injective for $j \le -1$ and surjective for $j \ge -1$. For example, if $e \in\mathfrak g_{\bar0}$ belongs to an $\mathfrak{sl}_2$-triple $\{e, f, h\}$ where $[e, f] = h$, $[h, e] = 2e$ and $[h, f] = -2f$, then the $\mathbb Z$-grading of $\mathfrak g$ given by the eigenspaces of $\operatorname{ad} h$ is a good $\mathbb Z$-grading for $e$, and is called a Dynkin grading.

Good $\mathbb Z$-gradings of finite-dimensional simple Lie algebras were classified by V.G.Kac and A.G.Elashvili in 2005. This problem arose in connection to $W$-algebras, where good $\mathbb Z$-gradings play a role in their construction. We will discuss the proof of the classification of good $\mathbb Z$-gradings for the basic Lie superalgebras, which involves determining the centralizers of nilpotent even elements and of $\mathfrak{sl}(2)$-triples in basic Lie superalgebras. We will show that all good $\mathbb Z$-gradings of the exceptional Lie superalgebras: $F(4)$, $G(3)$, and $D(2, 1, \alpha)$ are Dynkin gradings. The good $\mathbb Z$-gradings of $\mathfrak{sl}(m|n) : m \ne n$, $\mathfrak{psl}(n|n)$ and $\mathfrak{osp}(m|2n)$ are classified using certain combinatorial objects called ``pyramids", analogously to the Lie algebra setting. We will also discuss the relationship between good even gradings and the existence of Richardson elements in parabolic subalgebras.

松木敏彦（龍谷大・文）

$G$ は標数が２でない体上の $2n+1$次 split 特殊直交群とする．$P$ を $(n,1,n)$ 型の $G$ の極大放物型部分群とし，$B$ を Borel 部分群とする．このとき，三重旗多様体 $G/P\times G/P\times G/P$ および $G/P\times G/P\times G/B$ の $G$-軌道分解を記述する．副産物として，$G/B$ 上の $GL_n$-軌道分解や $GL_{2n+1}$ の full flag variety の $Sp_{2n}$ による軌道分解なども得られる．

太田琢也（東京電機大・工）

Kronecker quiver の定める群作用とは $GL_m \times GL_n$ の $M_{m,n}\times M_{m,n}$ への作用 $(g,h) \cdot (X,Y)=(gXh^{-1}, gYh^{-1})$ のことである．Kronecker は行列の標準形を与える形で，この作用の軌道の分類を与えている．しかし，Kroneckerの分類はかなり複雑で，軌道の不変量は何であるのか容易には理解しがたいように思われる．　

この講演では，$m=n$ の場合にG.I.T. の手法を用い ，半安定点（ある相対不変式が消えない点）の成す開部分多様体の軌道の分類を $GL_n$ の $M_{n,n}$ への作用の随伴商 $M_{n,n}/GL_n$ の貼り合わせによって与える．結果として，半安定軌道の集合は $\mathbb{P}^1(\mathbf C)$ に固有値をもつ Jordan 標準形によって分類されることが判る．時間が許せば，この群作用の Chevalley section と binary form の不変式論との関連についても触れたい．

刈山和俊（尾道大・経済情報）

昨年，この研究会で発表した結果は，simpleの場合であった．これをあるsemisimple stratumに拡張して，付随するself-dual simple typeを含む不分岐$p$-進ユニタリー群$G$のspecial表現に対する形式的次数を決定する．その計算は格段に複雑であるが，その公式はsimpleの場合に類似した美しい形になる．

榎本直也（京都大・理）

境界を$1$つ持つ種数$g$の向き付けられたコンパクトリーマン面$\Sigma_{g,1}$の写像類群$M_{g,1}$は，$H_1(\Sigma_{g,1},\mathbf Z)$に自明に作用するTorelli部分群とよばれる部分群を持ち，その商は$Sp(2g,\mathbf Z)$と同型になる．Torelli部分群のJohnson filtrationの次数商を自由Lie代数の微分代数へ移すJohnson準同型は，Torelli部分群の構造を調べるための重要な道具のひとつであり，言わばTorelli群の近似物を記述していると考えられる．その後，森田茂之氏によってJohnson準同型の像がある次数付き部分Lie代数$\mathfrak {h}_{g,1}$に埋め込まれることが示され，その余核の次数$k$-部分（$k$：奇数）に$Sp$-既約表現$[k]$が含まれることがわかった．これは森田障害と呼ばれている．

本講演では，自由群の自己同型群におけるJohnson準同型とその余核の$GL$（あるいは$Sp$）-構造をもとに，写像類群のJohnson余核に現れる既約成分のあるクラスについて紹介し，具体的に，$Sp$-既約表現$[1^k]$が次数$k$-部分（$k\equiv 1 \pmod 4$）に重複度$1$で現れることを述べたい．

Jianxun He（広州大）

Let $\mathscr Q$ be the quaternion Heisenberg group, and let $\mathbf P$ be the affine automorphism group of $\mathscr Q$. In this talk we consider the unitary representations of $\mathbf P$ on $L^2(\mathscr Q)$, and develop the theory of continuous wavelet transform on the quaternion Heisenberg group. Moreover, the properties of the Radon transform on $\mathscr Q$ is established. By using the inverse wavelet transforms we obtain an inversion formula of the Radon transform on $\mathscr Q$.
Keywords: Quaternion Heisenberg group, wavelet transform, Radon transform, inverse Radon transform.
AMS Subject Classification: 43A85, 44A15

示野信一（関西学院大・理工）

非コンパクト型のRiemann対称空間の種々の境界からのPoisson変換の像を微分方程式系により具体的に特徴づける問題に関する大島利雄氏との共同研究について，既知の結果との関係やHermite対称空間の直線束の場合などの例を交えて解説する．

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